馬季收爐,有咩好做?筆者選擇繼續筆耕,希望稍後送一份禮物給各位讀者。現在貼出一部份讓大家先睹為快:

 


 

凱利公式( Kelly Criterion )是一條威力強大的算式,幫助很多賭徒和投資者縱橫賭場與投資市場。但這樣厲害的公式,看起來卻平平無奇,就是這個樣子:

 

F = [(O – 1) * P – (1 – P) ]/ (O – 1)

 

其中, F 是要下的注碼佔的本金的比例, P 是勝出機會率, O 是賠率。

 

凱利公式之名源自約翰凱利( John Kelly ),此君曾任空軍機師,及後取得物理學博士。

在貝爾實驗室工作期間,他和同事夏農( Claude Shannon )建立了一套理論。後來凱利在《貝爾系統技術期刊》發表了一篇題為《對信息傳輸速率的新詮釋》的論文,這條公式由此首次曝光。

 

凱利的論文是物理學研究產物,原意非為賭博用。不過,據說夏農與數學家及數學系教授索普( Edward Thorp ),發現公式在賭博上的潛力,拿到賭場驗證,結果玩廿一點贏了大錢。索普後來更成立對沖基金,在投資市場賺個盤滿鉢滿。至於凱利本人,據說並無利用公式贏過一分錢!

 

凱利公式的用途

這條方程式看來很厲害,但絕不是萬能。以下舉一例說明。

 

假設你持有 $10,000 本金參與賭局。在此賭局裡,已知你勝出的機會率為 55% ,而每次勝出的固定賠率是 1.9 倍。

 

這個賭局看來錯,長玩下去應該會有利潤。然而,你的目標不只是贏,而是將利潤最大化。所謂賭得大贏得多,把本金 all-in 有望得到最大利潤,不過只要輸一次就翻不了身。如果每次只落 $100 細注,你隨時可以玩足三日,但利潤增長又不夠快。

 

理論上,由細注到 all-in ,回報的變化會呈現一條曲線。一開始回報會隨注碼加大而增多,但注碼大過某一數額後,回報反而會漸漸減少(如下圖),這是因為輸的金額會蠶食贏的利潤。那個最大利潤的數額,就是凱利公式幫到你的地方。

 

凱利公式-注碼與回報曲線

 

(圖片來源:https://www.investorwhiz.com/concepts//a-note-on-kellys-formula)

 

根據公式,最佳的注碼比例是 [(1.9 – 1) x 0.55 – (1 – 0.55)] / (1.9 – 1) = 0.05 。起始本金是 $10,000 ,第一舖你應該下注 $10,000 x 0.05 = $500 。如果贏了,取回 $950 ,本金變成 $10,000 – $500 + $950 = $10,450 ,第二舖下注金額變為 $10,450 x 0.05 = $522.5 。如果第一舖已輸,則本金收縮至 $10,000 – $500 = $9,500 ,第二舖下注金額變為 $9,500 x 0.05 = $475 。如此類推。

 

凱利的學術論文證明了,只要確定勝出機會率和賠率,長期按這條公式決定注碼,就能令本金以最快速度增長。當然,公式是假設你長期下注。如果你的本金不夠,但又黑仔到連輸多局,本金有可能輸至連下一注也不夠錢。所以,有些人會把公式計出來的最佳注碼比例乘以一個百分比,例如玩半個 Kelly 。

 

要發揮凱利公式的用處,投注必須有值博率。例如上例的賠率不是 1.9 而是 1.5 ,則以公式計出來的注碼比例會是負數:

 

[(1.5 – 1) x 0.55 – (1 – 0.55)] / (1.5 – 1) = -0.35

 

意味這個賭局根本不應該下注。

 

另外,凱利公式只應用於長期重覆的行為。有很多人使用公式賭幾次都贏不到錢,便批評公式沒用。這是誤解了公式的用途。

 

凱利公式於賽馬的應用

凱利公式用於賽馬,比起以上例子要複雜得多。一場賽馬有多達 14 匹參賽馬,即是有 14 個賠率, 14 個勝出機會率,但一般情況下勝出的馬只有一匹。這種有一堆獨立而同時發生的事件的賭博,公式並不可以直接套用在每匹馬之上,需要修改。

 

好消息是,在很多外國博彩網站,都可以找到適用於賽馬的版本。壞消息是,你必須要掌握每匹馬的勝出機會率才能計算注碼。馬會只提供賠率,公式中的 P 要自行計算。

 

筆者曾在其他文章提及專業計馬集團,會利用電腦計算出每匹馬的預計勝出機會,並比較賠率,決定下注金額。他們計算注碼的方法,大致都離不開凱利公式。至於計算馬匹勝出機會率,最常見的是多類別邏輯迴歸 ( Multinominal Logistic Regression ),其原理有機會再論。

 

總括而言,利用凱利公式可有效提升利潤,然而必須掌握一套計算馬匹勝出機會率的方法,普羅馬迷不易為之。有興趣的馬迷,不妨再深入研究。

 

作者簡介

彼德

彼德

風水命理師、建築專業人士

研習風水命理多年,本身亦為建築專業人士,擅長以工程設計經驗,配合風水知識,提供選屋及風水佈局建議。
閒時喜歡研究投資和賽馬,左手數據右手術數,兩數合璧去發財。